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复数法在解平面几何题中的应用

时间:2011-04-22  作者:秩名
论文导读:特别是能掌握一点复数的知识。我们就来看看如何利用复数法来解决这个问题。向量,复数法在解平面几何题中的应用。
关键词:复数,复数法,向量,坐标系
 
1 引言 从中学数学教科书中,读者已经学习过复数的基本概念和运算,但是,在那里学习到的主要是复数的代数性质,例如,为了解决在实数范围内不可能解出的方程 而引入了虚数单位,后来又利用复数开出1的次方等等。论文大全,向量。读者可曾想到,在代数上起着重要作用的复数,在平面上的几何学中是否也能有方便的,有趣的应用?本文的目的就是通过解题方法及举例来显示出复数在平面几何解题中的应用。 对于一些几何题,如能充分利用复数的运算及其几何意义来解的话,常可达到简化证明的目的。利用复数解几何题是“数”“形”结合,以“数”促“形” 的生动体现。论文大全,向量。 G.盖莫夫在他的通俗科学读物《从一到无穷大》中,叙述了下面一个故事:从前有一位年青的冒险家,在他曾祖父的遗物中发现有这样的记载:“乘船至北纬XX,西经XX,即可找到一座荒岛,岛的北岸有一大片草地,草地上有一株橡树和一株松树,还有一座绞架,那是我们过去用来吊死叛逆者的,从绞架走到橡树,并记住走了多少步,到了橡树,向右拐个直角再走这么多步,在这里打个桩,然后再回到绞架那里,朝松树走去,同时记住所走的步数;到松树向左拐个直角再走这么多步,在这里也打个桩,然后在这两个桩的正中挖掘,就可以找到一项丰富的宝藏。” 这位年青人驾驶了一条船找到了这座荒岛,同时也找到了橡树和松树,但使他失望的是:由于天长日久,绞架已不复存在了。于是,这位年青的冒险家陷入绝境,由于地方太大了,无论他怎样卖力地挖掘也无济于事,只好两手空空启程返航。 这是一个令人遗憾的故事,然而,要使人遗憾的是:如果这个小伙子能懂点数学,特别是能掌握一点复数的知识,那就不难找到这项宝藏了。论文大全,向量。 下面,我们就来看看如何利用复数法来解决这个问题。 我们把这个岛看成一个复平面,过这两株树干(设为)的直线实轴,过两株树干的中点与实轴的直线为虚轴,而且,以两树的距离的一半作为长度单位,这样橡树和松树的位置可分别用和1表示,由于绞架不知在何处,我们不妨用复数来表示。  
C 桩①    
y
,  
z(绞架)
D 桩②
S
向量而且  
O A –1(橡树) B
由复数的乘,除法的几何意义,得  
x
1(松树)
向量向量  
图1
又∵ 即第一个木桩,第二个木桩所对应的复数分别为由于宝藏在两根桩的正中间,因此要求出上述两个复数之和的一半,即 可以看出,在所表示的绞架位置在运算过程中消失了,即宝藏的地点与绞架的位置无关,由此可知,不管绞架在何处,宝藏总是在这个位置上。 尽管这个荒岛寻宝的故事可能是虚构的,但复数已越来越多地被人们所认识和了解,利用复数法可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行,垂直,共线,相切,角相等)与求植(距离,角,比值等)问题,与用其他方法解平面中的几何问题更显优越性。 2 复数的发展 复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。在17世纪和18世纪,随着微积分的发明与发展,人们研究了复函数,因为复数最初是单纯地从形式上推广而引进的,并且在18世纪以前,由于人们对复数的有关概念了解的不够清楚,用它们进行计算得到一些矛盾,所以复数在历史上长期不能为人们所接受,“虚数”这一名词本身就恰好反映了这一点。 复数是由一对实数表示出来的,有许多几何量与物理量,也可用一对实数来表示。例如平面上点的直角坐标,平面向量,平面上的速度与力等等,而复数恰好可以用来表示这些量,在一些情况下,应用复数表示这些量计算起来比较方便。 在18世纪,丁.达朗贝尔(1717—1783)与L.欧拉(1707—1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念,并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面饿一些问题,直到这时,人们才接受了复数,复变函数论才能顺利地建立和发展。复变函数的理论基础是在19世纪奠定的,在20世纪,复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的数学分支。论文大全,向量。 3 复数法在平面几何解题中的应用 复数现已广泛用于几何证题,复数法解几何题是通过建立坐标系,把几何图形的点看作对应于复平面上的复数,借助于复数的运算及其几何意义,从而获得几何命题的一种证明方法。其证明思路是:先把几何条件“翻译”成复数关系式,通过复数关系式的推理运算,得到复数计算的结果——另一些复数关系式,再把这些计算结果“翻译”成几何要求的答案。论文大全,向量。 3.1 复数法在平面几何证题中的步骤 当今,“数学教学大纲”的改革,探究性课题日益增多,一题多解的现象频频出现,而且有些题用一般几何证明或代数法很难证出,这就需引进这种新的证明平面几何的方法——复数法。论文大全,向量。 复数已广泛用于几何题,这里仅根据中学所学内容,利用复数的向量表示,复数运算的几何意义以及二项方程根的性质等知识来证明一些几何问题 3.1.1 要掌握复数法证明平面几何问题,必须做到: 1、熟练掌握复数,复平面上的点,向量三者之间的关系极其相互转化; 2、熟练掌握复数的各种运算法则以及它们的几何意义; 3、牢记复数所表示的一些基本公式和平面曲线的基本方程 例1:半径为的圆内接正边形是平面上的一点,且已知求证:    1/3    1 2 3 下一页 尾页
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